In der bivariaten Analyse wird der Zusammenhang zwischen zwei Variablen untersucht. Dieser kann symmetrisch oder asymmetrisch sein. In der heutigen Sitzung werden wir uns der symmetrischen Beziehung zwischen X und Y widmen, bei der keine Variable als Ursache angenommen wird. Die Analyse steht dabei unter der Frage, ob der empirisch zu beobachtende Zusammenhang zwischen zwei Variablen von der theoretisch zu erwartenden Verteilung bei Unabhängigkeit abweicht. Dabei stützt sich die bivariate Analyse auf statistische Maßzahlen oder Möglichkeiten der grafischen und tabellarischen Darstellung. In dieser Sitzung werden wir bivariate Zusammenhangsmaße für nominale und metrische Variablen in R berechnen.
getwd()
setwd("eigener Pfad")library(foreign)
gles <- read.spss(file = "ZA6801_de_v4-0-1.sav", to.data.frame = TRUE)
lijphart <- read.csv2("Lijphart_Data_recode.csv")# GLES
# Alter
q2c_num <- as.numeric(as.character(gles$q2c))
gles$alter <- 2017 - q2c_num
# Geschlecht
names(gles)[names(gles) == "q1"] <- "geschlecht"
# Einkommen kategorial
gles$einkommen_cat[gles$q192 == "unter 500 Euro" |
gles$q192 == "500 bis unter 750 Euro" |
gles$q192 == "750 bis unter 1000 Euro"] <- "weniger als 1000"
gles$einkommen_cat[gles$q192 == "1000 bis unter 1250 Euro" |
gles$q192 == "1250 bis unter 1500 Euro" |
gles$q192 == "1500 bis unter 2000 Euro"] <- "1000 bis 1999"
gles$einkommen_cat[gles$q192 == "2000 bis unter 2500 Euro" |
gles$q192 == "2500 bis unter 3000 Euro"] <- "2000 bis 2999"
gles$einkommen_cat[gles$q192 == "3000 bis unter 4000 Euro"] <- "3000 bis 3999"
gles$einkommen_cat[gles$q192 == "4000 bis unter 5000 Euro"] <- "4000 bis 4999"
gles$einkommen_cat[gles$q192 == "5000 bis unter 7500 Euro"] <- "5000 bis 7499"
gles$einkommen_cat[gles$q192 == "7500 bis unter 10000 Euro" |
gles$q192 == "10000 Euro und mehr"] <- "7500 und mehr"
gles$einkommen_cat <- factor(gles$einkommen_cat,
levels = c("weniger als 1000",
"1000 bis 1999",
"2000 bis 2999",
"3000 bis 3999",
"4000 bis 4999",
"5000 bis 7499",
"7500 und mehr"))
# Einkommen numerisch
gles$einkommen_num[gles$einkommen_cat == "weniger als 1000"] <- 1
gles$einkommen_num[gles$einkommen_cat == "1000 bis 1999"] <- 2
gles$einkommen_num[gles$einkommen_cat == "2000 bis 2999"] <- 3
gles$einkommen_num[gles$einkommen_cat == "3000 bis 3999"] <- 4
gles$einkommen_num[gles$einkommen_cat == "4000 bis 4999"] <- 5
gles$einkommen_num[gles$einkommen_cat == "5000 bis 7499"] <- 6
gles$einkommen_num[gles$einkommen_cat == "7500 und mehr"] <- 7
# Wohnort
gles$wohnort[gles$q197 == "Grossstadt"] <- "Großstadt"
gles$wohnort[gles$q197 == "kleine oder mittelgrosse Stadt"] <- "Kleinstadt"
gles$wohnort[gles$q197 == "laendliche Gegend oder Dorf"] <- "Land"
gles$wohnort[gles$q197 == "Vorstadt/ Vorort einer Grossstadt"] <- "Vorstadt"
# Links-Rechts-Selbsteinstufung
gles$LiRe <- as.character(gles$q32)
gles$LiRe[gles$LiRe == "1 links"] <- "1"
gles$LiRe[gles$LiRe == "11 rechts"] <- "11"
gles$LiRe <- as.numeric(gles$LiRe)
# Links-Rechts-Selbsteinstufung aggregiert
gles$LiRe_cat[gles$LiRe >= 1 &
gles$LiRe <= 2] <- "links"
gles$LiRe_cat[gles$LiRe >= 3 &
gles$LiRe <= 4] <- "moderat links"
gles$LiRe_cat[gles$LiRe >= 5 &
gles$LiRe <= 7] <- "mittig"
gles$LiRe_cat[gles$LiRe >= 8 &
gles$LiRe <= 9] <- "moderat rechts"
gles$LiRe_cat[gles$LiRe >= 10 &
gles$LiRe <= 11] <- "rechts"
gles$LiRe_cat <- factor(gles$LiRe_cat,
levels = c("links",
"moderat links",
"mittig",
"moderat rechts",
"rechts"))
# AfD-Wahl
gles$AfD.Wahl[gles$q19ba == "AfD"] <- 1
gles$AfD.Wahl[gles$q19ba != "AfD"] <- 0Für Zusammenhänge zwischen zwei nominalskalierten Variablen in größeren Kontingenztabellen berechnen wir \(\chi^2\) und Cramer’s V. Der \(\chi^2\)-Unabhängigkeitstest vergleicht die empirisch beobachtete Häufigkeit \(f_{ij}\) in Kontingenztabellen mit der zu erwartenden Häufigkeit \(e_{ij}\) in Indifferenztabellen bei statistischer Unabhängigkeit und prüft, ob diese Häufigkeiten signifikant unterschiedlich sind:
\(\chi^2 = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^k \frac{(f_{ij} - e_{ij})^2}{e_{ij}}\)
In R können wir \(\chi^2\) mit der Funktion
chisq.test() berechnen. Wir beginnen mit dem angenommenen
Zusammenhang zwischen der Wahl der AfD und dem Wohnort der Befragten.
Die Variablen AfD.Wahl und wohnort ordnen wir
den Argumenten x und y zu. Beide Variablen
sind nominalskaliert. Wir speichern den Output von
chisq.test() in dem Objekt test_wohnort. Wenn
wir nun test_wohnort abschicken, zeigt R den
Output der Funktion chisq.test().
test_wohnort <- chisq.test(gles$AfD.Wahl, gles$wohnort)
test_wohnort##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: gles$AfD.Wahl and gles$wohnort
## X-squared = 11.555, df = 3, p-value = 0.009072Der p-Wert des \(\chi^2\)-Tests
liegt nahe Null. Daher können wir mit großer Sicherheit die Annahme von
Unabhängigkeit zwischen den beiden Variablen in der Grundgesamtheit
zurückweisen. R hat den Wert anhand der Tabellen empirisch
beobachteter und bei Unabhängigkeit zu erwartender Zellenhäufigkeiten
berechnet. Das können wir nachvollziehen, indem wir uns beide Tabellen
mit test_wohnort$observed für die beobachteten und
test_wohnort$expected für die erwarteten Häufigkeiten
ausgeben. Sie sind als Teil des Outputs von chisq.test() in
dem Objekt test_wohnort gespeichert worden. Dabei steht die
AfD-Wahl in den Zeilen und der Wohnort in den Spalten.
test_wohnort$observed # beobachtete Häufigkeiten| gles\(AfD.Wahl/gles\)wohnort | Großstadt | Kleinstadt | Land | Vorstadt |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 340 | 526 | 543 | 119 |
| 1 | 27 | 71 | 60 | 4 |
test_wohnort$expected # bei Unabhängigkeit erwartete Häufigkeiten| Großstadt | Kleinstadt | Land | Vorstadt | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 331.82012 | 539.77278 | 545.19763 | 111.20947 |
| 1 | 35.17988 | 57.22722 | 57.80237 | 11.79053 |
Die Kreuztabelle der beobachteten Häufigkeiten lässt sich genauso mit
table() erstellen. Bei unterstellten Zusammenhängen
zwischen zwei Merkmalen ist es häufig sinnvoll, Kreuztabellen für einen
ersten Eindruck mittels table() zu erstellen.
table(gles$AfD.Wahl, gles$wohnort)| / | Großstadt | Kleinstadt | Land | Vorstadt |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 340 | 526 | 543 | 119 |
| 1 | 27 | 71 | 60 | 4 |
Als weiteres Beispiel berechnen wir \(\chi^2\) für den Zusammenhang zwischen der berichteten AfD-Wahl und dem Geschlecht der Befragten.
test_geschlecht <- chisq.test(gles$AfD.Wahl, gles$geschlecht)
test_geschlecht##
## Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
##
## data: gles$AfD.Wahl and gles$geschlecht
## X-squared = 21.758, df = 1, p-value = 3.093e-06test_geschlecht$observed # beobachtete Häufigkeiten| gles\(AfD.Wahl/gles\)geschlecht | maennlich | weiblich |
|---|---|---|
| 0 | 776 | 752 |
| 1 | 114 | 48 |
test_geschlecht$expected # bei Unabhängigkeit erwartete Häufigkeiten| maennlich | weiblich | |
|---|---|---|
| 0 | 804.68639 | 723.31361 |
| 1 | 85.31361 | 76.68639 |
Auch in diesem Fall liegt der p-Wert nahe an Null, sodass von einem Zusammenhang zwischen den beiden Variablen in der Grundgesamtheit ausgegangen werden kann.
Ein Nachteil von \(\chi^2\) ist, dass es je nach Tabellenformat und Fallzahl unterschiedlich ausfällt, d.h. kein normierter Wertebereich vorliegt. Deshalb kann Cramer’s V als Standardisierung von \(\chi^2\) auf den Wertebereich [0, 1] berechnet werden:
\(V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(m-1, k-1)}}\)
So können wir die Stärke von Zusammenhängen vergleichen. Weil die drei oben untersuchten Variablen dem gleichen Datensatz entstammen, ist die Fallzahl identisch. Da die AfD-Wahl zudem jeweils die Variable mit den wenigsten (nämlich zwei) Kategorien ist, dürfte die Normierung durch Cramer’s V keinen Effekt haben. Der höhere \(\chi^2\)-Wert für den Zusammenhang zwischen Geschlecht und AfD-Wahl im Vergleich zum Zusammenhang zwischen Wohnort und AfD-Wahl, sollte auch für Cramer’s V vorliegen.
Wir verwenden die Funktion cramerV() aus dem Paket
rcompanion, da base-R keine Funktion zur Berechnung von
Cramer’s V bereitstellt. Entsprechend müssen wir rcompanion
zunächst installieren und laden. Die Funktion cramerV()
erwartet als Input eine Kreuztabelle der beobachteten Häufigkeiten. Wie
oben gezeigt, können wir diese entweder händisch mittels
table(Variable1, Variable2) erstellen, oder
die durch chisq.test() erstellte Tabelle verwenden, die
unter test_wohnort$observed gespeichert ist.
#install.packages("rcompanion")
library(rcompanion)
cramerV(table(gles$AfD.Wahl, gles$wohnort)) # aufgrund händisch erstellter Kreuztabelle## Cramer V
## 0.08269cramerV(test_wohnort$observed) # aufgrund von chisq.test() erstellter Kreuztabelle## Cramer V
## 0.08269Den Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der AfD-Wahl prüfen wir
hier ausschließlich anhand des Outputs von
chisq.test().
cramerV(test_geschlecht$observed) # aufgrund von chisq.test() erstellter Kreuztabelle## Cramer V
## 0.1155Wie erwartet, zeigt auch Cramer’s V einen etwas stärkeren Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der AfD-Wahl, als zwischen dem Wohnort und der AfD-Wahl. Tatsächlich müssen allerdings beide Zusammenhänge als eher schwach bezeichnet werden. Starke Zusammenhänge treten in den Sozialwissenschaften aber auch eher selten auf.
Den Zusammenhang zwischen zwei metrisch skalierten Variablen ermitteln wir mithilfe der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizient r. Während das Alter klar metrisch ist, ist dies für die Links-Rechts-Selbsteinstufung mit zehn Stufen eine Annahme, die in der Forschungspraxis aber häufig getroffen wird.
\(cov(x;y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})\).
In R bestimmen wir die Kovarianz mithilfe der Funktion
cov(). Für das Alter und die Links-Rechts-Selbsteinstufung
berechnen wir die Kovarianz wie folgt: Die Variablen alter
und LiRe werden den Argumenten x und
y zugewiesen. Da es sich um die ersten beiden Argumente der
Funktion handelt, müssen wir diese nicht explizit nennen. Wir
spezifizieren außerdem das Argument use mit complete.obs.
Dadurch legen wir fest, dass Beobachtungen (Zeilen), bei denen für eine
der beiden Variablen keine Information vorhanden ist (NA),
bei der Berechnung nicht berücksichtigt werden.
cov(gles$alter, gles$LiRe, use = "complete.obs")## [1] 3.765734Die Kovarianz für den Zusammenhang zwischen dem Alter der Befragten und der subjektiven Links-Rechts-Selbsteinstufung liegt bei rund 3.77. Damit liegt ein positiver Zusammenhang vor. Da die Höhe des Wertes von den Skalen der Variablen abhängt, kann die Stärke des Zusammenhangs nicht ohne Weiteres eingeschätzt werden.
Allerdings können wir die Kovarianz auf den Wertebereich -1 bis 1 normieren, sodass wir ein Maß für die Stärke des Zusammenhangs erhalten. Das erreichen wir dadurch, dass wir die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen beider Variablen dividieren (Diaz-Bone 2019: 94), um den Korrelationskoeffizienten zu berechnen.
\(r=\frac{cov(x;y)}{s_x\cdot s_y}\)
Die Funktionen zur Berechnung von Kovarianz und Korrelation in
R sind identisch aufgebaut (siehe die Hilfeseiten für die
Kovarianz und die Korrelation durch die Befehle ?cov oder
?cor). Wir nennen wieder die Variablen alter
und LiRe als die Argumente für x und
y (erneut implizit) und legen use so fest, dass Zeilen, in
denen eine der beiden Variablen ein NA aufweist, von der
Berechnung ausgeschlossen werden.
cor(gles$alter, gles$LiRe, use = "complete.obs")## [1] 0.1030572Für den Zusammenhang zwischen Alter und Links-Rechts-Selbsteinstufung
errechnen wir einen Korrelationskoeffizienten von rund 0.1. Damit liegt
ein schwacher positiver Zusammenhang vor. Durch Berücksichtigung der
Skalierung der Variablen können wir eine inhaltliche Interpretation
ableiten. LiRe ist so kodiert, dass höhere Werte einer
rechteren Selbsteinstufung entsprechen. Wir können also folgern, dass
mit zunehmendem Alter der Befragten eine rechtere politische Position
einhergeht.
AfD.Wahl ursprünglich gebildet haben. Kodieren Sie diese
Variable so um, dass sie die Wahlentscheidung der Befragten für die
Parteien im Deutschen Bundestag enthält. Setzen Sie andere Antworten auf
NA. Erstellen Sie eine Kreuztabelle für die
Wahlentscheidung und den Wohnort der Befragten.